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um pequeno estudo dos números primos

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Dupla Primes desmistificadas

Twin Prime Algoritmos de Distribuição e Simetrias

Licença Creative Commons

Esta obra está licenciada pelo autor, Gary William Croft, sob uma Creative Commons Atribuição-Compartilhamento pela mesma licença 3.0 Unported .

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"Esta peneira é a fonte de dois algoritmos de fatoração de números primos eficientes e desconstrói completamente a sequência de primos gêmeos." - Philip Gervasse Jackson, citando a Sieve Prime espiral em sua Simplicidade Instinct: por que os números primos são indescritível!

"Foi através da minha busca de sentido que eu descobri o quão importante o espaço de raiz digital é, que em troca me recompensado com uma olhada em como elegante e bonito que o mundo realmente é." -Talal Ghannam, Ph.D., O mistério dos números Revelado em sua raiz Digital



Canais de Distribuição números primos gémeos

Os algoritmos de fatoração e rotativas grupos de simetria que predeterminam a distribuição dos primos gémeos (p, p + 2) -e para que o assunto todos os principais números, são bonitos de se ver. Abaixo demonstramos como estas simetrias gerar na forma de permutar matrizes, palíndromos, rotação de triângulo equilátero, e polígonos-incluindo complexos {9/3} polígonos estrela, e culminando com a bela "palindromagon '... um objeto geométrico perfeitamente simétrico, cuja construção sequências dos seis possíveis permuations de {3,6,9} palindromically; a saber:. 639 693 963 369 396 936 (Se você está pensando que isso é 'math sagrado,' você estaria enganado Pelo contrário, estas simetrias são derivados empregando elementar aritmética soma dígitos e geometria..)

Começamos nossa exploração de primos gémeos a uma espiral números ≡ a {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} modulo 30 (vulgarmente conhecido como números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5), dentro de um modulo 30 roda factorization (ver gráfico, abaixo), em que 1 = 12 ° (e, por definição, esta sequência é constituído por todos os números primos maiores do que 5 e seus múltiplos multiplicativos, este último começando com 7 x 7 = 49, o primeiro número de composto no domínio). Se o fizer, vemos que todos os principais candidatos individuais (n, n + 2), e confirmou pares principais individuais (p, p + 2), com exceção de (3,5) e (5,7), analisar ao longo de três distintas "canais de distribuição", ou seja, os potenciais pares de primos gêmeos são separados por 24 ° e são analisados igualmente ao longo de três conjuntos de raios emparelhado: {12 ° ↔ 348 °} ... {132 ° ↔ 156 °} ... {204 ° ↔ 228 °} ... em intervalos de 30:

Números primos gémeos Canais de Distribuição Candidate
 

Abaixo traduzir os três canais de distribuição principais individuais para a língua da aritmética soma modular e dígitos. Nós definimos os canais no módulo 30 termos e listar os seus ângulos e sequências de raiz digitais, este último repetindo a cada três rotações em torno da peneira. Também estão indicados os montantes digitais raiz do N, N + 2 duplas, que - por razões que demonstram abaixo - deve ser sempre quer 3, 6 ou 9, enquanto os seus produtos raiz digitais deve ser de 8 em todas as três casos.

[Nota: Neste site raiz digitais (também conhecido como soma repetida dígitos, reiterou soma de dígitos, ou módulo 9 função) refere-se ao único dígito (1-9) que resulta quando todas as somas dígitos são somados por sua vez, por exemplo, , 47 = 4 + 7 = 11 = 1 + 1 = 2; e, assim, a raiz digital 47 = 2, ou dr (47) = 2.]

Números ≡ {11,13} modulo 30 (a 132 ° e 156 °) seqüência como:

(11,13) = raízes digitais {2,4} → 2 + 4 = raiz digital de 6
(41,43) = raízes digitais {5,7} → 5 + 7 = raiz digital de 3
(71,73) = raízes digitais {8,1} → 8 + 1 = raiz digital de 9

{Raízes digitais repetir ...}

Números ≡ {17,19} modulo 30 (em 204 ° e 228 °) seqüência como:

(17,19) = raízes digitais {8,1} → 8 + 1 = raiz digital de 9
(47,49) = raízes digitais {2,4} → 2 + 4 = raiz digital de 6
(77,79) = raízes digitais {5,7} → 5 + 7 = raiz digital de 3

{Raízes digitais repetir ...}

Números ≡ {29, 1} modulo 30 (a 348 ° e 12 °) como sequência:

(29,31) = raízes digitais {2,4} → 2 + 4 = raiz digital de 6
(59,61) = raízes digitais {5,7} → 5 + 7 = raiz digital de 3
(89,91) = raízes digitais {8,1} → 8 + 1 = raiz digital de 9

{Raízes digitais repetir ...}

Você vai notar que todos os n, n + 2 principais candidatos individuais listados acima sequência de suas raízes digitais em uma das três variações: {2,4}, {5,7} ou {8,1}. Oferecemos uma prova porque isto é assim para todos os pares principais individuais, começando com (11,13), em nossa prova de Construção para o Root Sequencing Digital de primos gémeos . [Nota: Esta prova demonstra simultaneamente que todos os principais candidatos individuais (n, n + 2) superior (5,7) distribuir a um dos três modulo 30 sequências diádicas, ou seja, os números ≡ para {11,13}, {17, 19} ou {29,1} modulo 30.].

Nós já documentou as três sequências digitais primos gêmeos díade raiz na Enciclopédia On-Line de Integer Sequências (e nós explorar as belas simetrias que eles criam sob o título "Digital Raiz de análise da primos gémeos," abaixo). Aqui estão os números e links sequência OEIS:

A232880: Dupla primos com a raiz digital de 2 ou 4

A232881: Dupla primos com a raiz digital de 5 ou 7

A232882: Dupla primos com a raiz digital de 8 ou 1

Anteriormente, chamou a atenção para o fato de que as somas das duplas raiz digitais deve ser igual a 3, 6 ou 9. Fizemos isso porque estes representam uma tríade, {3,6,9}, que - com {1,4,7 } e {2,5,8} - são os vértices de rotação de triângulo equilátero (o " Trinity de triângulos "). A rotação destes triângulos é codificado em 3 x 3 matrizes que mapeiam para polígonos {9/3} estrela (mais sobre isso abaixo). Nós também irá revelar o 'quadrado latino' refletindo {3,6,9} escondido à vista entre e entre os canais de distribuição privilegiada individuais; todas as suas linhas, colunas e diagonais principais soma a 18.

[Nota: No nosso 'Foundations' seção, afirmou que o conjunto dos números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5 pode ser expressa na (módulo 30) forma: 30n + 1, 30n + 7, 30n + 11, 30n 13, 30n + 17, 30n + 19, 30n + 23, 30n + 29, uma vez que o fator-peneirada deixando todos os primos> 5. Sub-ordenação (para usar um termo folha de cálculo) os principais candidatos pares nos canais de distribuição dos primos gêmeos pode ser expressa como (30n + 11, 30n + 13), (30n + 17, 30n + 19), (30n + 29, 30n 31) ... o que restringe o campo fator-peneiramento de 8/30 a 6/30, ou exatamente 20% dos números naturais. Temos documentado esta sequência na Enciclopédia On-Line de Integer Sequências (OEIS Sequence Número A230462), onde, incorporando uma sugestão de Omar E. Pol, que já definiu como números ≡ a {1, 11, 13, 17, 19, 29} a modificação 30 .]

Consolidar os 6 raios usados para construir os canais de distribuição privilegiada individuais em uma única linha número isola completamente os principais candidatos individuais, emparelhamento-los em conjunto numa sequência determinista, viz .: 11 {+ 2 + 4 + 2 + 10 + 2 + 10 } {repetir ... ∞}. Por exemplo, seis dos sete primeiros desses emparelhamentos são primos gémeos: [11, 13] [17, 19] [29, 31] [41, 43] [47, 49 (7 x 7)] [59, 61] [ 71, 73]. (Excluído por definição, são números ≡ {7, 23} mod 30, que sequência como 7 {+ 16 + 14} {repetir ... ∞}. Com a excepção de 7, os membros desta sequência não pode formar pares primos gêmeos dado o seu mais próximo possível proximidade com outros números primos é 4 e -4, respectivamente).

Abaixo está uma matriz que mostra a distribuição de conjuntos principais de solteiro (ambos os candidatos e confirmou pares de primos) a partir de [11, 13] a [569, 571]:

Twin Prime matriz de Distribuição
 

Os primeiros três conjuntos principais gêmeas nesta configuração matriz são um anagrama, em termos angulares (em um círculo de 30 seccionados, como abrange o primeiro-Spiral Sieve, onde 1 = 12 °), para os três primeiros números primos, assim: [11, 13] [17, 19] e [29, 31], respectivamente, traduzem-se em:

11 + 13 = 24 ... 24 ° = 2
17 + 19 = 36 ... 36 ° = 3
29 + 31 = 60 ... 60 ° = 5

[Você vai notar que a soma dos intervalos para cada fileira de os principais candidatos individuais = 30 = 2 x 3 x 5; e curiosamente o produto das somas dos três primeiros conjuntos privilegiada candidatos individuais = 24 x 36 x 60 = 51840, enquanto 51840/360 = 12 2 e 51840/432 = 120.]



Algoritmos de fatoração para os candidatos números primos gémeos

Todos os números compostos nos canais de distribuição privilegiada individuais podem ser contabilizadas através de algoritmos pelo modulo de oito vezes 30 progressões mostrado abaixo, onde primeiro mostrar fatoração por divisão, em seguida, siga com fatoração pela multiplicação. [Nota: Os algoritmos aqui apresentados são um sub-conjunto de progressões de acordes discutidos durante algum tempo antes que o consignado todos os números compostos na matriz povoada por números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5, em oposição apenas para factoring aqueles duplo impacto os principais candidatos, demonstrado abaixo].:

Na matriz abaixo mostramos fatoração por divisão sequencial específico para os canais de distribuição dos primos gêmeos. Como você pode ver, a coluna mais à esquerda consiste no número 1 e os membros dos canais de distribuição privilegiada individuais em seqüência, delimitando assim a fatoração prospectivo para apenas os principais candidatos individuais. números Essencialmente, dividimos sequencialmente ≡ a {1, 11, 13, 17, 19, 29} mod 30 por números ≡ a {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} mod 30. Todos modulo n ≡ 0 resultados gerados (exceto quando um número é dividido por si só) indicar os fatores (dispostas na horizontal, oi-lited em rosa) do n (dispostas na vertical, oi-lited em amarelo, com exceção de primos gémeos oi-lited em azul brilhante ):

Matrix duplo Prime Fatoração
 

Factorization por multiplicação é simplesmente uma inversão do processo de divisão mostrada acima. Para um gráfico ilustrando as progressões multiplicativos 8 vezes que representam todos os números compostos nos canais de distribuição dos primos gêmeos, clique neste link: Dupla Prime candidatos multiplicativos Fatoração Sequências



A Sieve Prime espiral como Star Parto Câmara

Rotativa Equilateral triângulos, Triangulação Mapeamento Matrizes, polígonos complexos ea raiz Digital de Modulo 90 Factorization e números primos gémeos Sequencing Candidato em 24 Dimensões

Os 36 operações fundamentais da Modulo 30 Factorization

Analisando-se os algoritmos de fatoração discutidas acima do ponto de vista raiz digitais nos leva às 6 x 6 = 36 operações fundamentais do modulo 30 de fatoração (ver matriz, abaixo).

Como 36 duplas de Fundamentos Multiplicação raiz Digitais
 

você pode encontrar este palíndromo de 36 dígitos tecendo através da matriz acima como dois opostos ondas quadradas ?:
1, 2, 4, 5, 7, 8, 4, 8, 7, 2, 1, 5, 7, 5, 1, 8, 4, 2, 2, 4, 8, 1, 5, 7, 5, 1, 2, 7, 8, 4, 8, 7, 5, 4, 2, 1

Além disso, observe as seguintes relações de espelhamento neste tecer palíndromo cria:

- Os fatores multiplicando para raiz digital de 2 produtos estão em ordem inversa à multiplicando fatores de raiz digital de 7 produtos ... e 2 + 7 = 9.

- Os fatores multiplicando para raiz digital de 4 produtos estão em ordem inversa à multiplicando fatores de raiz digital de 5 produtos ... e 4 + 5 = 9.

- Os fatores multiplicando para raiz digital de 8 produtos estão em ordem inversa à multiplicando fatores de raiz digital de 1 produtos ... e 8 + 1 = 9.

Para ilustrar o resultado dessa análise, a seguir, mostramos a distribuição das raízes digital dos primeiros 36 elementos do nosso domínio, incluindo o número 1, e os 29 números primos (8 pares de que formam primos gémeos) e 6 números compostos (exibindo tanto seus fatores de raiz naturais e digitais) encontrou dentro desta gama:

Digital Root Dyad Factorization Matrix
 

Estrelas vendo: Simetrias rotacional, Modulo 90

"A busca por simetria, eo prazer emocional que derivam quando encontrá-lo, deve nos ajudar a dar sentido ao mundo que nos rodeia ... A simetria é também economia. Symmetry é a simplicidade. A simetria é elegância." De The Accidental Universo, por físico teórico Alan Lightman.

Quando esticar as modulo 30 vezes horizonte / 8-de dimensão 3, e olhar para as sequências de fatoração acima de um modulo 90/24 dimensão perspectiva raiz digitais, fazemos uma descoberta profunda (ilustrado no gráfico a seguir): Em linha reta fora de a teoria do grupo vem de uma tríade de rotação de triângulo equilátero, ({1,4,7}, {2,5,8}, {3,6,9}), interagindo para formar 3 x 3 matrizes que se transformam em 24 grupos de 24 cada {9/3} polígonos estrelas. sequência de cada estrela de rotações digital está enraizada em uma atuação matriz como correspondente entre conjuntos de coordenadas geométricas. Estas sequências de raiz digitais e suas geometrias associadas são infinitamente repetindo (módulo 90), e as simetrias que eles criam são simultaneamente reflectional, rotação e translação.

Pode-se dizer que o primeiro-Spiral Sieve, quando telescoped x 3 para módulo 90, é uma câmara de estrela de parto. Estes grupos de simetria são digitalmente enraizada em números ≡ a {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 77, 79, 83, 89} modulo 90, e formam a base do 24 x 24 " Matrix Espelho mágico " (ver também seção abaixo intitulado "Cirque de Primes justapostos com a Matriz de Espelho mágico").

Os matemáticos costumam comparar números primos de "átomos" e números compostos para 'moléculas. " Pode-se argumentar que é consistente com esta analogia para chamar de raiz digital de triângulo equilátero {1,4,7} {2,5,8} das tríades quark 'do universo número. Em ambos os casos, temos uma díade fundamental de tríades que interagem. No que diz respeito aos nossos modulo 90 triangulações, {1,4,7} e {2,5,8}, cada um tem seis possíveis operações de simetria rotacional Referenciável aos valores de vértices 1 a 9 de um {9/3} polígono estrela; Assim, temos: {1,4,7}, {1,7,4}, {4,1,7}, {4,7,1}, {7,1,4}, {7,4,1 } versus {2,5,8}, {2,8,5}, {5,2,8}, {5,8,2}, {8,2,5}, {8,5,2} . Esses triângulos interagir combinatória via somas díade raiz digitais para criar {3,6,9} seis permutações possíveis de rotação 's {3,6,9}, {3,9,6}, {6,3,9}, {6 , 9,3}, {9,3,6} e {9,6,3}:

{3,6,9} Seis Rotações Possíveis do Triângulo equilátero

Como vimos anteriormente, os {3,6,9} triângulos fornecer a estrutura fundamental para o nosso domínio, sob a forma de repetir modulo 30, 60, 90 {3,6,9} ciclos ... Estas progressões parecem ser isomorphic para a hierarquia geométrico de polígonos estrela construído a partir de triângulos equiláteros, de tal modo que (a notação Schäfli chaves): {3/1}, ou simplesmente {3}, é de módulo 30 como {6/2} para módulo 60 é como {9 / 3} é de módulo 90; e esta progressão constrói ao infinito.

Em grande parte da mesma forma que um budista poderia dizer: "É a interação entre Yin e Yang que move o destino para a frente," estamos argumentando que é a interação entre {1,4,7} e {2,5,8} que se move estrutura para a frente moldada por {3,6,9} seis simetrias combinatória 's. Escrevendo sobre a importância da teoria do grupo desenvolvido por Évariste Galois, matemático bem conhecido Marcus du Sautoy capta essa idéia em seu livro Symmetry: Uma viagem para os padrões da Natureza: "[Galois] descobriu que é as interações entre as simetrias em um grupo que encapsulam as qualidades essenciais da simetria de um objeto ".

Período de 24 em todas as direções

Nós já foi dito que este é um modelo de 24 -Dimensão. Além de cada um dos 24 módulo 90 progressões fatoração determinísticos tendo um ciclo de repetição de 24, há uma dimensão oculta gerado por sucessivas díades raiz digital para cada sequência factorization que também é período de 24 uma vez que (e não há uma prova disto): qualquer díade inicial de números diferentes de zero de um dígito entra em um ciclo periódico de comprimento-24, com exceção de oito pares que entram ciclos de comprimento-8, {(3,3), (3,6), (3,9) , (6,3), (6,6), (6,9), (9,3), (9,6)}, e uma dupla, (9,9), que é periódica de comprimento-1. (Fonte: Adaptado de um comentário postado na Enciclopédia On-Line de Integer sequências: OEIS # A030132: Raiz Digital de Fibonacci (n) ). Por exemplo, os dois primeiros termos da sequência de raiz digital de Fibonacci apenas referenciada, (1,1), inserir um ciclo periódico de comprimento-24, como se segue: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3 , 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9} {...} repetir.

O nosso domínio enquadrado modulo 90 (números ≡ a {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89} mod 90), que tem uma raiz digital de período de 24 de {1, 7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, 4, 1, 5, 7, 2, 4, 8 , 5, 7, 4, 8, 1, 5, 7, 2, 8} {...} repetir.

Os vinte e quatro período de 24 sequências de fatoração de raiz digitais derivados de nosso domínio pode ser analisado em 6 (seis) sub-conjuntos raiz digitais, cada uma composta por 4 elementos, que se enrolam sob raízes digitais 1, 2, 4, 5, 7 , 8, da seguinte forma (observando que todas as sequências para o primeiro factorizaion completa rodada inicializar com o NX 7; a 1ª e 2ª rodadas são demarcados por 91 2 e a segunda rodada inicializa com 91 x 97. (mais abaixo nesta página você encontrará um link para uma planilha com tabelas que fazem estas sequências e suas transições claras).:

Números ≡ {1, 19, 37, 73} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 1) como:
{7, 2, 4, 8, 1, 5, 2, 4, 1, 5, 7, 2, 4, 8, 5, 7, 4, 8, 1, 5, 7, 2, 8, 1} { repetir … }

Números ≡ {11, 29, 47, 83} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 2) como:
{5, 4, 8, 7, 2, 1, 4, 8, 2, 1, 5, 4, 8, 7, 1, 5, 8, 7, 2, 1, 5, 4, 7, 2} { repetir … }

Números ≡ {13, 31, 49, 67} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 4) como:
{1, 8, 7, 5, 4, 2, 8, 7, 4, 2, 1, 8, 7, 5, 2, 1, 7, 5, 4, 2, 1, 8, 5, 4} { repetir … }

Números ≡ {23, 41, 59, 77} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 5) como:
{8, 1, 2, 4, 5, 7, 1, 2, 5, 7, 8, 1, 2, 4, 7, 8, 2, 4, 5, 7, 8, 1, 4, 5} { repetir … }

Números ≡ {7, 43, 61, 79} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 7) como:
{4, 5, 1, 2, 7, 8, 5, 1, 7, 8, 4, 5, 1, 2, 8, 4, 1, 2, 7, 8, 4, 5, 2, 7} { repetir … }

Números ≡ {17, 53, 71, 89} sequência mod 90 (ou seja, a raiz digitais = 8) como:
{2, 7, 5, 1, 8, 4, 7, 5, 8, 4, 2, 7, 5, 1, 4, 2, 5, 1, 8, 4, 2, 7, 1, 8} { repetir … }

As matrizes codificadas por cores foto abaixo ilustram que, quando você alinhar sequencialmente o período de 24 sequências de raiz vinte e quatro digitais, simetria perfeita é revelado, em que cada linha tem 12 bilaterais 9 somas de trabalho de fora para dentro (ou de dentro para fora) ea soma aditivo de cada linha e coluna é 108. as principais diagonais também têm 12 bilaterais 9 somas, ainda que de forma transversal diagonal, soma de 75 + 141 = 216 = 108 x 2.
Modulo sequenciamento fatoração 90 digitais de raiz

 

 

A seguir são mostrados dois dos 24 conjuntos de sequências de fatoração raiz digitais período de 24 listadas acima, por exemplo, as sequências de números congruentes para {7} e {11} modulo 90 sequencialmente multiplicado números congruente com {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89} modulo 90, começando com 7. Além modulo 90, exibimos modulo 30 padrões e a maneira interessante que analisar com repetindo-30 bilaterais simetrias soma. À direita de cada sequência de raiz digital de demonstramos como eles geram rotativa triangulações ({1,4,7}, {2,5,8}, {3,6,9}) sob a forma de 3 x 3 matrizes que em por sua vez, podem ser extrapolados para {9/3} polígonos estrelas:

Digital Root Factorization Sequência de Números congruentes um modulo 7 90
 
Sequência Digital Root Factorization parágrafo Números congruentes um modulo 11 90
 

A verificação dos produtos de fatoração nos dois exemplos acima, podemos determinar rapidamente quais deles impactar os principais candidatos individuais, dado tudo o duplo primos maior que (5,7) ou são {11,13}, {17,19} ou {29, 1} modulo 30. por exemplo, para os {7} modulo 90 configurações de fatoração foto acima, vemos que exatamente 18 dos 24 produtos (ou 75%), índice (identificar) os principais candidatos individuais compósitos (mostrado entre parênteses): 47 [49], [77], 79, 89 [91], [119] 121, 131 [133], [161] 163, 257 [259], [287] 289, 299 [301], [329] 331, 341 [343], [371] 373, 467 [469], [497] 499, 509 [511], [539] 541, 551 [553] e [581] 583. Note como os produtos de menor vs. maiores valorizados alternam com cada par de principais candidatos individuais.

Os restantes 6 produtos, é claro, identificar as "isolados" são os principais candidatos que compósito. Entramos em maior profundidade sobre ciclos díade raiz digitais especificamente relacionadas com primos gémeos sob os títulos "Digital raiz Fatoração duplas dos canais de distribuição números primos gémeos" e "Quadrados números primos gémeos mágica", em direção à parte inferior desta página.

Para aceder a uma planilha do Excel que mostra a derivação de todas as 24 sequências de fatoração raiz digitais e dos seus ciclos de matriz período de 24 correspondentes, clique aqui: Digital_Factorization_Roots_24x24_Matrix.xlsx .

Tabelas dentro da planilha antes ligada ao revelar como as 24 infinitamente repetidos período de 24 sequências de cada um gera 24 matrizes que extrapolam a {9/3} polígonos estrela para um total de 24 x 24 = 576 = 9 x 8 polígonos estrela 2 9 pontas por ciclo de fatoração completa. [Nota: Esta contagem exclui descrito na Nota após este parágrafo, o 'Fibo Bounds'.] Também revelou são belas mod 30 vs. mod 90 simetrias. Por exemplo, comparando as sequências de raiz digitais para números congruentes para {1} contra {29} mod 30 e / ou {1} contra {89} mod 90 expõe belas simetrias contra-balanceamento.

[Nota: Os números ≡ {1} módulo 90 ao quadrado são segregados a partir dos conjuntos de seqüências de fatoração 24x24, ou seja, 1x1, 91x91, 181x181, ... criar seu próprio 'supra-sequência "agindo como linhas de demarcação diretamente antes e após cada dos conjuntos de fatoração completos de 24. por exemplo, 1x1 e 91x91 ato como suportes de livros antes de 1x7 e depois 89x91 (que por sua vez desenha uma linha antes de 91x97). Tendo em conta que a raiz digital de uma das sequências de fronteira é dr (1 x 1) = 1, quando esses produtos raiz digitais estão emparelhados eles repetidamente produzir o 24 período de Fibonacci sequência raiz digitais, viz. {1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9} { repetir ... }. Nós apelidado estes Fibo Bounds.]



Impressionante Palindromic Polygon (o "Palindromagon ') Gerado ByTwin Ciclos Prime Digital Root díade

E agora para puxar o coelho proverbial fora do chapéu. Acima de nós demonstramos que quando sequenciado verticalmente e agrupados em conjuntos de três pares, os ciclos díade período de 24 digitais de raiz gerados por algoritmos de fatoração produzir permutando triângulo equilátero na forma de 3 x 3 matrizes a partir do qual podem ser extrapolados {9/3} estrela polígonos.

Uma pergunta óbvia: o que acontece quando os ciclos geradores são seqüenciados na horizontal? A resposta, ao que parece, é agradável para a mente eo olho.

Para a discussão bem, vamos nos concentrar em primos gémeos. Eles, como os algoritmos de fatoração discutidas acima, são permutadas através de 3 x 3 matrizes povoadas por números de 1 a 9 e iniciado (gerado) por um trio de duplas envolvendo raízes digitais 1, 2, 4, 5, 7, 8, que, quando sequenciado formulário algorithmically-combinatória elegantes grupos de simetria 'geo-arithmetric'.

Outros locais neste site que publicou uma " Prova por construção para o Root Sequencing Digital de primos gémeos " demonstrando que todos os pares principais individuais maior que (5,7), ou seja, começando com (11,13) deve ter sequenciamento raiz digitais de qualquer {2,4}, {5,7} ou {8,1}. Um exemplo perfeito de tais díades em cascata seria as três primeiras geminações primos de números congruentes para {11,13} modulo 30: {11,13 = raiz digital de 2 + 4 = 6} + 30 {41,43 = raiz digital de 5 + 7 = 3} + 30 {71,73 = raiz digital de 8 + 1 = 9} ...

Quando aditiva somar os três período de 24 ciclos de raiz digitais estas duplas produzem, então camada-los, criamos seis 3 x 3 matrizes (cada um contendo os valores 1 a 9) separadas por camadas número repetitivos na seguinte ordem: {1,1, 1} {} {5,5,5 7,7,7 8,8,8} {} {4,4,4} {2,2,2}. Os seis matrizes estas camadas demarcam são a fonte de coordenadas triangulares quando traduzido em vértices de um círculo módulo 9 (que, por definição, tem 9 pontos equidistantes em torno da sua circunferência, cada uma separada por 40 °).

A série de diagramas abaixo mostram as seis fases geométricas culminando em um polígono complexo de extraordinária beleza. Nós apelidado este objeto uma 'palindromagon' uma vez que as coordenadas dos 18 triangulações produzidos pelos ciclos diádicas raiz digital na soma sequenciados para um palíndromo:. 639 693 963 369 396 936 Notavelmente, este palíndromo periódica, com aditivo soma de 108, as sequências 6 permutações possíveis de valores {3,6,9}. Interessante considerar um objeto geométrico com uma dimensão palíndromo escondido. Mas isso não é tudo: Quando os seis permutações triádicos que formam o palíndromo são rotulados A, B, C, D, E, F na ordem gerada, ACE e forma BDF 3 x 3 quadrados latinos. Em ambos os casos todas as linhas, colunas e diagonais principais somar 18:

ACE ... BDF
693 ... 639
369 ... 963
936 ... 396

A saída dessas triangulações algorithmically sequenciados é fundamentalmente uma representação geométrica dos canais privilegiada de distribuição individuais (e, como observamos acima, a mesma geometria é expressa em sequenciamento fatoração, embora os vértices podem ser ordenados de forma diferente. Isso ocorre porque cada conjunto de três gerador de díade raízes aos mesmos seis elementos: 1, 2, 4, 5, 7, 8. Assim, por exemplo, conjuntos de díade ({1,2} {4,5} {7,8}) e ({2, 4} {5,7} {8,1}) irá gerar polígonos complexos idênticos, apesar de seus vértices sendo seqüenciado em ordens diferentes.).

É notável que os objetos que consistem em polígono estrela, espiral pentágonos irregulares, e que possuam nonagon perímetros e centros, pode ser construído a partir de apenas 27 coordenadas que apontam para 9 triângulos em 3 variações. Cada ciclo de período de 24 produz dois palindromagons '', como ilustrado abaixo:

Números primos gémeos raiz digitais de Progressão geométrica
 

Estágio Números primos gémeos digitais de raiz geometria 1
 

Estágio Números primos gémeos digitais de geometria raiz 2
 

Estágio Números primos gémeos digitais de geometria raiz 3
 

Estágio Números primos gémeos digitais de geometria raiz 4
 

Estágio Números primos gémeos digitais de geometria raiz 5
 

Estágio Números primos gémeos digitais de raiz geometria 6
 

Números primos gémeos díade raiz Digitais produzidos polígono Complexo
 

Em seguida nós combinar as triangulações verticais de nossos ciclos de raiz digitais que formam {9/3} polígonos das estrelas com a Palindromagon gerado na horizontal, e descobrir que o objeto consolidada é um bem conhecido geometers: É um enneazetton regular (8-simplex) (ou um polytope 9-facetada em 8 dimensões), que, de acordo com a Wikipedia, contém: 9 vértices, 36 arestas, 84 faces triangulares, 126 células tetraedro, 126 5-Cell 4-faces, 84 5-simplex 5-faces, 36 6- simplex 6-faces, e 9 7-simplex 7-faces.

Twin Prime Digital Root Ciclo Polygon
 

Por último, vamos comparar o "enneazetton 'acima retratado de uma estrela de 18-gon 9 pontos gerados pelos três primeiros números primos; 2, 3 e 5 (foto abaixo), e vemos que eles são idênticos, exceto pelo número de lados (9 vs. 18). Eles são essencialmente versões convexas e côncavas um do outro. Aqui, novamente, encontramos evidências de que os números primos> 5 são fundamentalmente organizado pela primeira de três de seus membros:

18-gon à partir de Geradores 2, 3 e 5
 


Aditivo Compilação dos candidatos números primos gémeos

Do que nós aprendemos acima sobre segregando os principais candidatos individuais, podemos demonstrar que compilar aditiva em perfeita progressão, completando uma sequência infinita de círculos (múltiplos de 30 e 360):

.
Twin Prime Candidato Aditivo Compilation
 

Temos multiplicado as principais individuais somas par candidato em 15 ° para mostrar o arco equivalente de rotação de cada par num módulo 90/24-elemento espiral por rotação, em que 1 = 15 ° e 24 x 15 = 360 °. Assim, quando você divide os produtos em 360 °, você começa equivalentes circulares, por exemplo, 11 + 13 = 24; 24x15 = 360; 360/360 = 1 (assim, o primeiro par no primeiro thirt é equivalente a uma rotação de 360 °).



Cirque de Primes

A thirt, caso você esteja se perguntando, é uma unidade útil de medida quando se discute intervalos em números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5. A thirt, equivalente a uma rotação em torno do Sieve Prime espiral é como um marcador de milha no Primeiro-estrada número. Se tomarmos o Modulo 30 Prime espiral Sieve e expandi-lo para Modulo 360, vemos que existem 12 thirts em um círculo completo, ou 'cirque' como já é apelidado. Cada thirt é composto por 8 elementos. Os dois primeiros são thirts {1,7,11,13,17,19,23,29} e {31,37,41,43,47,49,53,59}. O último elemento thirt1, 29, eo primeiro elemento em thirt2, 31, estão enraizados em -1 e 1, respectivamente: em que -1 + 30 = 29 e 1 + 30 = 31. Estes são primos gémeos, seguido de uma sequência infinita em intervalos de 30 de principais candidatos individuais, que servem como as listras centro da estrada número primo, e assim: {-1, + 1} 30 {29,31} +30 {59,61} 30 {89,91} 30 {119121} {30} 149.151 +30 {179181} {30} 209.211 +30 {239241} {30} 269.271 +30 {299301} {30 329331} {30} 359.361 completa cirque1, embora, paradoxalmente, 361 é o início de cirque2. Você pode dizer que {359361} situam na 1ª e 2ª cirques exatamente em 360 °, assim como {719721} cirque2 pernalta e cirque3 em 720 (ou 360x2) ... Isto é congruente com o fato de que todos os padrões repetidos na raiz digitais nível, incluindo as raízes digitais de números Fibonnaci e números de Lucas indexados pelo nosso domínio, bem como as raízes digitais do conjunto que constituem o nosso domínio, alcançar in toto end-to-end resolução simétrica em 360 ° intervalos, o que, é claro, é esteticamente satisfatório.

Aqui está um gráfico que ilustra estas relações:

Cirque de Primes Ilustrando Resolução Padrão EM 360 °
 

Todos os números primos entre os números de índice e o Conjunto de primeiro-Root foram oi-lited em azul. Dos números 24 índice que são primos, 22 apontam para elementos do conjunto Prime Root, que também são prime; e os dois que não são, 161 (7x23) e 221 (13x17), são ambos semi-primes com fatores que soma a 30 (e, curiosamente, o índice de 30 # pontos para 109, um número primo que-como 89- tem uma expansão decimal com base na sequência Fibonnaci).

Você pode ver no gráfico acima que as raízes digitais dos números de Fibonacci indexados ao nosso domínio (Números ≡ para {} 1,7,11,13,17,19,23,29 modulo 30) repetir palindromically cada 32 dígitos (ou 4 thirts) que consistem em 16 pares de bilaterais 9 somas. A sequência de raiz digital do nosso domínio, por outro lado, se repete a cada 24 dígitos (ou 3 thirts) e possui 12 pares de bilaterais 9 somas. O fim de ponta a toda sequência Root Prime cobrindo 360 ° tem 48 pares de bilaterais 9 somas. E, finalmente, os próprios elementos de raiz privilegiada dentro do Cirque, constituído por 96 elementos, tem 48 pares de somas bilaterais, totalizando 360. Essencialmente, a auto-estrada número primo é composto de círculos telescópicas infinitamente ... Observe também, as raízes digitais do primeiro-Root definir, bem como as raízes digitais de números e os números de Fibonnaci Lucas (este último não representado acima) indexada a soma tudo a 432 (48x9) em 360 ° ciclos. A sequência de Fibonacci envolvendo raízes digitais repete a cada 120 °, e foi documentado pelo autor na Enciclopédia On-Line de Integer sequências: raiz Digital de números de Fibonacci indexadas por números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5 (A227896) . (Como um aparte, nós acreditamos que a gênese da sequência de Fibonacci se aprofunda quando enraizado em -1,1 em vez de 1,1, criando assim simetria identidade: -1,1,0,1,1,2,3,5, 8 ... Reverse os dois primeiros termos (-1 e 1) para gerar séries de Fibonacci negativo: 1, -1,0, -1, -1, -2, -3, -5, -8 ...)

[Nota: Em alguns círculos (sem trocadilhos), o número 432 (como em 432 Hertz) foi declarado o "frequência do cosmos" para o qual o "Música das Esferas" está sintonizado. Um número crescente de músicos e musicólogos apoiar instrumentos musicais Sintonia de A = 432Hz (ou Pitágoras A) em vez do tom de concerto padrão de A = 440Hz. Eles afirmam que 432Hz, com seus tons de oitava 12 escala em comparação com 8 oitavas de 440 Hz, é harmonicamente rica e mais limpa em som (O autor, que interpreta americana World Music em uma guitarra flamenca, vai atestar isso.). É claro, após análise dos números primos de cirque, que as raízes digitais somam 432 em 360 ° ciclos, abrangendo 12 thirts. O senso comum, se não o rigor matemático, gostaria de sugerir que há alguma correspondência com sobretons de oitava 12 escala de 432Hz (e, de fato, a Sieve Prime espiral aparece com destaque na página deste site latino-americano intitulado "teorema fundamental da aritmética Musicalmente Aplicada à Zodiacal Circle " ). Vá para YouTube.com, procure em "432", e você vai ficar impressionado com o número de vídeos que caracterizam este número.]

Ficamos com uma outra perspectiva cirque quando somamos os intervalos entre os pares candidatos principais individuais, como matriciada abaixo:

Soma dos Intervalos Entre OS candidatos Números primos gémeos
 

Outra forma de demonstrar a progressão de uma Cirque é com a simples função de escada-pisar em incrementos de 15 2 mostrado abaixo. Se você adicionar 2 a cada resultado de criar o canal de números primos gémeos distribuição enraizada no n ≡ 29 (módulo 30) e n ≡ 1 (módulo 30), o primeiro par privilegiada nesta sequência sendo [29,31]. Num sentido profundo, ignorando o fato de que 1 não é um número primo, você poderia dizer que a sequência de primos gêmeos eficazmente ligada à terra e zerada em {-1,1}:

0 2-01 fevereiro = -1
Fevereiro 15 - fevereiro 14 = 29
Fevereiro 30 - fevereiro 29 = 59
45 2-442 = 89
60 2-592 = 119
75 2-742 = 149
90 2-892 = 179
105 2-1042 = 209
120 2-1192 = 239
135 2-1342 = 269
150 2-1492 = 299
165 2-1642 = 329
180 2-1792 = 359



Cirque de Primes justapostos com a Matriz Mirror Magic

Agora vamos ampliar para examinar a primeira 90 ° partição (abrangendo 3 thirts) do nosso Cirque de Primes, que começa com 1 e termina com 89. Com a justaposição do 'Mirror Matrix Magic' contra esta gama (ver gráfico abaixo), a bela simetrias ocultas são reveladas no nível de raiz digital quando matriz fatorado. Essa simetria se repete a cada 90 graus, repetidamente, incrementando todos os 24 elementos +90 (saltando 1-89 de 91-179, em seguida, 90 ... n) enquanto as raízes digitais nunca mudam. E assim, este objeto 'geoarithmetric', telescópica para infinito, representa o sequenciamento fatoração que é responsável por todos os números compostos existentes no conjunto dos números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5, deixando todos os números primos superior a 5. para uma discussão aprofundada do 'Matrix Espelho mágico ", incluindo fatos impressionantes sobre o número 89 (que, entre outras coisas, tem a sequência de Fibonnaci incorporado na expansão decimal de seu recíproco), clique aqui: Matrix espelho mágico .

Magic Mirror Matrix Juxapositioned Com 3 thirts des Uma Cirque
 


Digital Raiz de análise dos primos gémeos

Analisando primos gémeos por suas raízes digitais (em contexto com números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5) revela padrões extremamente interessantes. Estudar a matriz abaixo, e você vai descobrir que é uma bela construção de perfeitamente equilibrado, multi-direcional, simetrias "lógica apertados ':

primos gémeos analisados Pelas raízes Digitais
 

Nota 1: Como indicado, os quadrados cor de rosa marcados com x denotar elementos com dígitos de terminação = td (5) (seus valores não mostraram nem adicionados nas somas de linha, acima). Apesar de não serem membros de nosso conjunto definido, eles não deixam de ser interessantes. Por um lado, os seis primeiros td (5) elementos somam 360, da seguinte forma: 25 + 35 + 55 + 65 + 85 + 95 = 360. Por outro lado, eles estão sempre ao lado do módulo 30 "Isolated Primes", discutido abaixo .

Nota 2: As primeiras seis primos Isolado, começando com 23, também compilar a 360, como se segue: + 37 + 23 53 + 67 + 83 + 97 = 360.

Nota 3: Sete é o único número que reina na dois raios Prime isolada que não está "isolado", dado que está geminada com o número 5. Se fôssemos incluem 7 no nosso soma dos números primos isolados, acima, o resultado seria 367 , que é a própria nobre ea soma dos sete números primos.

Nota 4: Os primeiros 12 elementos que não são da TD (5), que consiste de 11 números primos consecutivos e 7 2, também resumir a 360, como se segue: 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 49 = 360.

Nota 5: Cada linha possui "simetria sum" envolvendo três somas idênticas. A primeira linha, por exemplo, nos dá três somas (que trabalham fora para dentro), totalizando 36: 11 + 25; 13 + 23; e 17 + 19 = 36 (e dado 36 é 360/10, vem como nenhuma surpresa que a 10ª linha tem três somas totalizando 360). A segunda linha tem três somas totalizando 72; 3ª fila tem três somas totalizando 108, etc. Cada linha sucessivo incrementa assim, +36, e as somas de linha acumulam em sobreposição de ciclos de 360 e 432 (a curiosa relação entre estes dois números discutidos outros locais neste site).



O Bloco 900

Quando descreveu a raiz de análise Matrix Digital acima como "lógica apertado, 'nós não estávamos exagerando. Isto é evidenciado pelo facto de que, quando os elementos com um dígito que encerra de 5 estão incluídos, todos os elementos nas primeiras 49 linhas da matriz pode ser acoplado com (adicionada a) um outro elemento na matriz para um total de 900 (com os elementos emparelhados espacialmente localizados em posições "iguais e opostas"). [Nota: Tenha em mente que é completamente arbitrária de nós para fucus na '900 Bloco' dado há um número infinito de blocos em um número infinito de configurações incrementado dentro dos limites da matriz infinitamente expansível (por exemplo, a partir de 47 na linha 3-313 na linha 17 forma um "360 bloco 'e 11 na linha 1-1789 na linha 99 (não mostrada acima) criaria um' 1800 Bloco ').] Obviamente, cada par somando 900 deve ser constituída por elementos produzir somas raiz digitais que decompõem a dr (9). Nós apelidado de 48 díades compostas de dois números primos, totalizando 900 no bloco 900 Bloco Primes '(listados abaixo):

900 bloco privilegiada duplas Números
 

A raiz de análise Matrix Digital é estruturado de tal forma que qualquer configuração rectangular com 'n' número de colunas e 'n' número de linhas irão produzir laterais simetria soma dyadic, determinado pelos três dr (9) variações soma: {2,7}, {4,5} e {8,1} (Nota: para calcular as somas bilaterais para uma linha, multiplique número vezes o índice da linha 36.). Aqui estão dois exemplos que envolvem linhas completas (6 elementos): Tome as linhas 17 2-18 e você vai produzir 51 combinações somando a 360; ou levar as 5 linhas 19-23, que produz 15 combinações Somando à 756 (Para calcular o número de combinações de qualquer e todos os retângulos configurados a partir de linhas completas, multiplicar o número determinado de linhas vezes 3.). Agora vamos esculpir um retângulo que não utiliza linhas completas: criamos um retângulo 4 colunas / 6-linha com os quatro cantos = 11, 19, 101 e 109 (todos de primeira linha), e achar que todas as somas cross-laterais igual 120.

Matriz de Análise de raiz digitais com 147 duplas soma parágrafo 900
 

O que é que esse objeto nos dizer sobre primos gémeos? Primeiro, vemos que primos gémeos se dividem em três categorias, quando analisado por suas raízes digitais: {2,4}, {8,1} e {5,7} (2x4, 8x1 e 5x7 todos iguais dr (8), enquanto 2 + 4 = dr (6); 8 + 1 = dr (9) e 5 + 7 = dr (3): as três pernas do {3,6,9} triangulação que é um membro da Trindade de triângulos, discutido direção à parte inferior da página. em seguida nós aprendemos que cada candidato duplo definir wihin a 900 bloco "tem um par de gêmeos privilegiada candidato" em oposição "a criação de duas somas de 900. Desses que se inserem nesta categoria dentro do bloco acima, o nosso favorito é composto por quatro conjuntos de primos gémeos, assim:

Quatro Conjuntos de primos gémeos com Quatro duplas entrelaçados soma parágrafo 900
 


Digitais de raiz Fatoração díades com os canais de distribuição números primos gémeos

Tal como foi demonstrado acima, que emprega a lógica de soma aritmética dígitos, existem um número finito de combinações de fatoração que correlacionam-se com cada um dos seis raízes digitais, para um total de 6 x 6 = 36 díades.

O diagrama abaixo mostra os primeiros 26 candidatos números primos gémeos (13 pares) a partir da raiz de análise Matrix Digital incluindo os 6 números compostos que caem dentro desta faixa (de {11,13} para {131133}). Para cada número composto que mostrar tanto sua raiz digital e factores naturais.

díades duplo Prime Digital raiz Factorizaton
 

Examinando os seis grupos de fatoração díade raiz digitais mostradas acima, descobrimos que os seis conjuntos de multiplicandos em todos os casos consistem nos triângulos {1,4,7} e {2,5,8} (e suas variações) rotativas em pauta, como nós mostramos abaixo ({1,4,7} triângulos estão em negrito para ajudar a delinear-las):

Digital Raiz Produto = 2: {2, 1, 5, 4, 8, 7}

Digital Raiz Produto = 4: {4, 2, 1, 8, 7, 5}

Digital Raiz Produto = 8: {8, 4, 2, 7, 5, 1}

Digital Raiz Produto = 1: {1, 5, 7, 2, 4, 8}

Digital Raiz Produto = 5: {5, 7, 8, 1, 2, 4}

Digital Raiz do produto = 7: {7, 8, 4, 5, 1, 2}

Se você acha que os itens acima como um bloco numérico, todas as linhas e colunas resumir a 27, e trabalhar de fora para dentro (vertical e horizontalmente), encontramos perfeita simetria envolvendo bilaterais 9 somas. Este objeto fatoração raiz digitais exibe os seis possíveis variações de rotação, tanto para {1,4,7} e {2,5,8} triangulações e de língua de simetria-fá-lo palindromically. Assim:

{1,4,7}, {4,1,7}, {4,7,1}, {1,7,4}, {7,1,4}, {7,4,1} ... ← palíndromo

{2,5,8}, {2,8,5}, {8,2,5}, {5,2,8}, {5,8,2}, {8,5,2} ... ← palíndromo

Se encadear os seis raiz digital de multiplicand define para criar um número de 36 dígitos, que produzem este belo palíndromo:

215487421875842751157248578124784512.

O significado destes triângulos, como membros de grupos de simetria de rotação que podem ser configurados para criar uma tríade de quadrados mágicos, é discutido em detalhe na parte inferior desta página.

Como já discutido anteriormente, cada par de candidatos principais twin tem um elemento de cada do {1,4,7} e {2,5,8} alternando triangulações (e como indicado, todos os quadrados distribuir para {1,4, 7} -nunca para {2,5,8}).

Mais notavelmente, talvez, a análise raiz digitais revela o agrupamento de principais candidatos individuais em "seis blocos", ou seja, agrupamentos em três pares principais potenciais demarcadas pelos raios privilegiada isolado. [Nota: O único conjunto dos primos gêmeos em nosso domínio não em um pacote de seis {17, 19} somas para 36, o que, como 1 / 10th de 360, parece poética. Se tivéssemos de diminuir {17, 19} em duas etapas -18, o resultado seria 17 + 19-1 + 1 - 17-19 = 0, o que faz sentido lógico (de zero a 180 sendo consistente com a incrementação set, mostrado abaixo).] os onze primeiros seis pacotes de seguir (e você encontrará o primeiro três destes no gráfico acima). E, como aludimos, a sequência de jogos em +180 incrementos, assim:

11 + 13 + 29 + 31 + 47 + 49 = 180
41 + 43 + 59 + 61 + 77 + 79 = 360
71 + 73 + 89 + 91 + 107 + 109 = 540
101 + 103 + 119 + 121 + 137 + 139 = 720
131 + 133 + 149 + 151 + 167 + 169 = 900
+ 163 + 161 179 + 181 + 197 + 199 = 1080
191 + 193 + 209 + 211 + 227 + 229 = 1260
221 + 223 + 239 + 241 + 257 + 259 = 1440
251 + 253 + 269 + 271 + 287 + 289 = 1620
281 + 283 + 299 + 301 + 317 + 319 = 1800
311 + 313 + 329 + 331 + 347 + 349 = 1980

Se você acha que o acima exposto como uma matriz de 11 linhas / 6-coluna (excluindo os totais de linha), você vai descobrir que seus 66 elementos formam 33 duplas que somam 360 (por exemplo, 11 + 349 = 360). Cada escada-passos coluna em incrementos de 30 e cada linha, trabalhando de fora para dentro, tem três somas idênticas (por exemplo, a primeira linha tem três duplas que somam 60 cada). Além disso, descobrimos que as sequências de raiz digitais repetição refletir a Trindade de Triângulos {3,6,9} {1,4,7} {2,5,8}:

2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4: Dr (2) + Dr (4) = Dr (6)
5 + 7 + 5 + 7 + 5 + 7: dr (5) + dr (7) = dr (3)
8 + 1 + 8 + 1 + 8 + 1: Dr (8) + Dr (1) = Dr (9).

Apontando a nossa discussão sobre duplos triângulos privilegiada sequenciamento candidato de volta para o primeiro-Spiral Sieve, vemos que três rotações em torno do Sieve produzir seis triângulos raiz digitais relacionadas com o candidato duplos:

11 (2), 13 (4) ... 17 (8), 19 (1) ... 29 (2), 31 (4)

41 (5), 43 (7) ... 47 (2), 49 (4) ... 59 (5), 61 (7)

71 (8), 73 (1) ... 77 (5), 79 (7) ... 89 (8), 91 (1)



Dupla Teoria Prime Domino

Alternando metáforas, abaixo representamos nossos clusters de repetição "six-pack", como dominós. A primeira fileira de dominós revela padrões compartilhados por todas as três configurações de candidatos de 3 par de gêmeos prima, ou seja, o dígito de término e modulo 30 valores matriz de forma idêntica nos três duplas analisados pelas raízes digitais. A segunda fileira de dominós revela os padrões de repetição de raiz digital e, em seguida, por raiz digital com os valores de terminação dígitos excluídos. [Nota: Cada categoria abaixo possui "igual e oposta" simetria sum. Por exemplo, a configuração do módulo 30 tem 9 montantes laterais 30 de cada.]

Twin Prime Patternization Fundamental
 

É evidente estudando que precede que a sequência de diferença entre os elementos em posições como nos clusters 3-par é 90. Nós sabemos de aritmética soma dígitos que quando você incrementa 90, ambos os elementos originais e os +90 somas incrementados possuirá a mesmos dígitos de terminação, raízes digitais, n (módulo 30) resultados, bem como as mesmas raízes digitais quando encerra valores dígitos são excluídos. Por exemplo, tomar as pares candidatos primos gêmeos {89, 91} 90 = {179, 181}:

89: Dr (8); TD (9); 29 (30 mod); dr (n-td) = 8
89 + 90 = 179
179: Dr (8); TD (9); 29 (30 mod); dr (n-td) = 8

91: Dr (1); td (1); 1 (30 mod); dr (n-td) = 9
91 + 90 = 181
181: Dr (1); td (1); 1 (30 mod); dr (n-td) = 9

Os dominós também nos dizem que:

O (mão esquerda) valioso membro inferior de um par privilegiada sempre possuem um dos três que encerra dígitos ↔ modulo 30 combinações:
td (1) ↔ 11 (mod 30)
td (9) ↔ 29 (mod 30)
td (7) ↔ 17 (mod 30)

O (da direita) membro de maior valor de um par privilegiada sempre possuem um dos três que encerra dígitos ↔ modulo 30 combinações:
td (3) ↔ 13 (mod 30)
td (1) ↔ 1 (mod 30)
td (9) ↔ 19 (mod 30)

E, por último, conjuntos principais gêmeas que são: n ≡ 29 (mod 30) + 2 = n ≡ 1 (mod 30) se decompõem para: dr (n-td) = 2, 3, 5, 6, 8 ou 9, enquanto todos outro gêmeo prepara sets [a saber, n ≡ 11 (mod 30) + 2 = n ≡ 13 (mod 30) e n ≡ 17 (mod 30) + 2 = n ≡ 19 (mod 30)] se decompõem para: dr (n-td ) = 1, 4 ou 7.



Os Seis digitais de raiz de multiplicação de matrizes

Quando converter os Canais de Distribuição números primos gémeos e / ou os raios emparelhado cujos ângulos somam 360 ° em matrizes de multiplicação raiz digitais, os resultados são interessantes para dizer o mínimo. No nível raiz digital de há seis matrizes inter-relacionadas de especial interesse para nós: três representam os canais de distribuição privilegiada individuais; o quarto capta os dois raios "isolada" da peneira Primeiro espiral, ou seja, onde n ≡ 7 (módulo 30), a 84 °, e n ≡ 23 (módulo 30), a 276 ° (isolado, porque, com a excepção de 7, que é geminada com 5, a proximidade mais próximo que pode ser para outros primos é mais ou menos 4 e, portanto, nunca pode ser primos gémeos); o quinto e sexto matrizes completar o conjunto de quatro derivado de raios cujos ângulos = 360 ° e no modulo 30 termos somar 30.

Aqui está um diagrama que mostra a derivação das seis matrizes:

Diagrama Exibindo Origem das SEIS MATRIZes de raiz Digitais
 

Cada um dos seis matrizes atrai 24 elementos a partir dos primeiros 96 elementos do nosso domínio (começando com 1 e terminando com 359, você encontrará uma análise profunda destes 96 elementos sob o título «Cirque de Primes, 'acima ...) . Quando matriz multiplicada, cada sequência produz dezesseis quadrados de 36 elementos idênticos composta por seis sequências 6 elementos. A matriz derivada da principal canal de distribuição duplo, onde n ≡ 1 (modulo 30), a 12 °, e n ≡ 29 (módulo 30), a 348 °, é retratado diretamente abaixo. Tem sequências idênticas às gerado quando você toma uma matriz multiplicação raiz digitais (aka védica quadrado) e remover todos os 3 de, 6 de e 9 do (Este "Imaginary Praça", como é apelidado, é discutido com mais detalhes no primeiro-factorização ).

Dupla Primeiro Canal de Distribuição A_12 e 348 graus
 

As matrizes para números primos gémeos canais de distribuição B & C segue:

Dupla Primeiro Canal de Distribuição B_132 e 156 graus
 

Dupla Primeiro Canal de Distribuição C_204 e 228 graus
 

Nosso próximo matriz é derivado do isolado Raios Distribuição Prime:

Isolated Primeiro Canal de Distribuição D_84 e 276 graus
 

E, por último, apresentamos a terceira e quarta matrizes derivadas de diagonais parelha cuja ângulos soma a 360 °:

Prime espiral Sieve Radii_132 e 228 graus
 

Prime espiral Sieve Radii_156 e 204 graus
 

Cada uma das matrizes de multiplicação raiz digitais produzidas pelos seis canais consiste no que é conhecido na matemática como " quadrados ortogonais latino '(definidos em Wikipedia como" uma matriz nxn preenchido com n diferentes símbolos, cada um ocorrendo apenas uma vez em cada linha e exatamente uma vez em cada coluna "... no nosso caso cada linha e coluna das matrizes 6x6 repetindo possui os seis elementos: 1, 2, 4, 5, 7, 8 em alguma ordem). Além disso, a soma das raízes digitais multiplicativos = 108 x 24 = 2592 = 432 x 6.

[Nota: Canais A, D, E e F combinados representam o conjunto dos números naturais não é divisível por 2, 3 e 5, os primeiros 24 elementos que formam a base da Matrix espelho mágico .]

O gráfico abaixo ilustra as relações entre Ative as matrizes transformar empregando seus blocos de construção primários (um dos 6 x 6 (36) elemento quadrados latinos idênticos dezesseis que constituem cada matriz):

Peneira Prime espiral Digitais de raiz Multiplicação de MATRIZes Transformações
 

Focando apenas os canais de distribuição dos primos gêmeos, vemos os relacionamentos mostrados abaixo [e, logo acima, mostramos que dois dos canais (B & C) transformar bi-direcional girando 180 ° em torno de um de seus principais (inferior esquerdo a superior direito) eixos diagonais]:

Relações de Multiplicação de raiz Digital números primos gémeos Canal
 


Fibonacci Digital Root multiplicação de matrizes e Analisando Simetrias

Em nossa discussão sob o Cirque de Primes, acima, observamos que a raiz digital do números de Fibonacci indexados por números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5 formam uma sequência palíndromo 32-beat que se repete a cada 120 ° e somas para 432 a cada 360 ° . Quando matriz multiplicada esta sequência forma uma mandala piramidal de simetrias reflectional que é vertical, horizontal e diagonal palíndromo. Se houvesse quarto aqui, nós expandir essa matriz vezes 3 para abranger 360 °. Seus 96 linhas palindr�icas e 96 colunas palindr�icas seria tudo igual ao número mágico 432 ... Vai entender ...

Fibonacci Digital Root Multiplicação de MATRIZes

 

 

Quando indexar as raízes digitais Fibonacci matricial acima pelo método digital de análise de raiz primos gêmeos descrito anteriormente, em que analisar por duplas digitais de raiz {2,4} {1,8} e {5,7}, simetrias soma bilaterais são revelados:

Fibonacci Digital Raiz de Análise de primos gémeos

 

 

Para completar o quadro (a 4ª dimensão do nosso 108 x 4 = 432 geometria), ilustramos o sequenciamento raiz digital de Fibonacci para os candidatos 'Isolado Prime':

Fibonacci Digital Raiz de Análise de isolado Primes

 

 



Distribuição dos Números Squared Prime via Raízes Fibonacci Digital

A análise dos modulo 120 sequências discutidas acima revela que a raiz digital do números de Fibonacci indexado por membros quadrados dos números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5 é sempre 1, enquanto os números quadrados que estão indexados pelo sempre são congruentes com qualquer um (mod 120) ou 49 (mod 120), ou seja, os quadrados de todos os números primos> 5 são congruentes para {1} ou 49 mod 120. Este limita a distribuição de números primos quadrados> 5 a uma sequência que é 2/120 ou 1,66% dos números naturais. (O autor documentou esta sequência na Enciclopédia On-Line de Integer Sequências [Sequência # A227863], onde ele é chamado: números congruentes para {1, 49} mod 120 ).

Esta sequência é misteriosamente prismática, como números primos incorporados em praças são separados em dois ângulos (determinados pelos dígitos de terminação de seus fatores), ou seja, dentro de uma roda de fatoração modulo 120, onde 1 = 3 °, os quadrados distribuir para 3 ° e 147 °, e são, portanto separadas por 144 ° (e temos de perguntar se é coincidência que as raízes digitais dos números de Fibonacci que formam o 32-beat repetir sequência palíndromo também resumir a 144, para não mencionar, como já mencionado acima, quando os primeiros três pares privilegiada candidatos individuais são somados e multiplicados juntos, 24 x 36 x 60 = 51840 e 51840/360 = 144. Este último fato terá um significado ainda maior quando diagrama das raízes quadradas de quadrados '. segunda imagem, abaixo mais um riff em 144:. é o número de Fibonacci 12 seguinte 89 e o único número de Fibonacci que é um outro quadrado do que Fibo1 Quando você dividir 144 por 89, um número de propriedades mágicas vamos explorar em «Fibonacci Twins , 'abaixo, você produz uma aproximação da proporção áurea, ou phi, com uma diferença de apenas 0,000056460660007.).Outra característica fascinante desta gama é que qualquer mesmo número de-não necessariamente contíguos-factores desenhadas a partir de qualquer um dos 32 ângulos nesta configuração módulo 120 distribuir produtos para um (mod 120) ou 49 (mod 120), juntamente com os quadrados . Dois exemplos: 1) a 33 °: 11 x 131 x 251 x 371 = 134187361, que é congruente com uma (mod 120); ... 2) a 291 °: 97 x 217 = 21049, que é congruente com 49 (mod 120). A matriz abaixo ilustra essas relações:

Quadrados congruentes a 1 e 49 mod 120

 

 

Referenciando a matriz acima, a ilustração abaixo peneiras os quadrados congruentes para {1,49} mod 120 e leva suas raízes quadradas. os principais candidatos individuais são enfatizadas para mostrar a sua repetição sequenciamento zig-zag sobre os degraus de uma estrutura de treliça perfeitamente contrabalançada misteriosamente preenchido pelo conjunto dos números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5:

Os candidatos duplo primeiro-Squared congruente a 1 e 49 mod 120

 

 



Fibonacci de Convergência

É bem sabido que a proporção de qualquer Fibo (n + 2) / Fibo (N) irá convergir para um limite φ + 1 = φ 2 (um número irracional) como N se aproxima do infinito (φ sendo o símbolo Phi ou o " proporção áurea "que é = 1,6180339887498948482045868343656 ...). E assim segue-se que as proporções dos números de Fibonacci indexados aos primos gémeos (n e n + 2) e / ou os principais candidatos individuais em sequência convergem nesse sentido (em outras palavras, as raízes quadradas dos rácios de números de Fibonacci indexados ao primos gémeos e / ou os principais candidatos individuais em sequência convergir para & Phi).

Aqui estão alguns exemplos (raízes quadradas não tomadas):

Fibo (13) / Fibo (11) = 2,617977528089887640449438202247 ...
Fibo (19) / Fibo (17) = 2,618033813400125234815278647464 ...
Fibo (31) / Fibo (29) = 2,618033988748203621343798191078 ...
Fibo (43) / Fibo (41 ) = 2,618033988749894831892914017992 ...
Fibo (49) / Fibo (47) = 2,618033988749894848153928976786 ...
Fibo (61) / Fibo (59) ... = 2,618033988749894848204586345776

Aqui está uma conexão interessante Fibo (13) / Fibo (11) = 2,617977528089887640449438202247: Fibo (13) = 233, enquanto Fibo (11) = 89. A raiz quadrada de Fibo (13) dividido por Fibo (11) = 12 2 dividida por 89 (e 89 tem a base da sequência de Fibonacci na expansão decimal do seu inverso). Em seguida, considere que 3 x 12 2 = 432, um número fascinante discutimos acima em "Cirque de Primes, 'abaixo em' Fibonacci Twins", bem como na nossa página detalhando o Matrix espelho mágico onde também examinar as propriedades surpreendentes de número 89.



Twins perfeitos

Uma outra primos gêmeos relacionado algoritmo determinista notar escada-passos seu caminho até as gêmeas canais de distribuição de primeira linha com uma periodicidade de 6. Nós apelidado estes "gêmeos perfeitos", dado que a raiz quadrada de suas somas quadrados 'perfeitas' é o primeiro número perfeito, 6, ou um dos seus múltiplos. Para calcular essa sequência par candidato duplo interessante, começar com x = 6 (depois adicionar 6 e repita para cada passo sucessivo, como mostrado abaixo):

  _________________
(x 2 /2 - 1 + x 2 / V2 + 1)

X = 6 : 6 2 = 36; 36/2 = 18; 18-1 = 17; 18 + 1 = 19; Assim, duplos candidatos par = 17 e 19; tirar a raiz quadrada de 17 + 19 que é = 6

adicionar 6 (6 + 6 = 12)

x = 12 : 12 2 = 144; 144/2 = 72; 72-1 = 71; 72 + 1 = 73; Assim, duplos candidatos par = 71 e 73; tirar a raiz quadrada de 71 + 73 = 12, que

adicionar 6 (12 + 6 = 18) {repetir ... n}

A tabela abaixo mostra os 20 primeiros passos na sequência. Todos os "gêmeos perfeitos" são oi-lited em ouro. [Nota: A tabela é vestida de cinco colunas para mostrar a +30 e repetindo modulo 30 incrementação vertical. Observe também que as raízes digitais para todos os candidatos principais pares e / ou pares principais nesta sequência equivale a 8 + 1 = 9, por exemplo, 17 ou dr (8) + 19, ou dr (1) = 36 ou dr (9 ).

Perfeito primos gémeos
 
 

[Nota: Nós temos documentado estes "gêmeos perfeitas" na Enciclopédia On-Line de Integer Sequências (Sequência # A232878) onde eles são definidos como pares de primos gêmeos, que soma para aperfeiçoar quadrados .]



Twins infinitos

Aludindo ao gêmeo Prime Conjectura , dado que todos os números compostos existentes no conjunto infinito de números naturais não é divisível por 2, 3 ou 5 (que, por definição, contém todos os números primos ≥ 7 e seus múltiplos e é definido como um {6 + 4 +2 +4 +2 +4 +6 +2} {repeat ... ∞} ), pode ser produzido através de algoritmos, que emprega oito sequências de fatoração geometricamente em expansão, em última análise, deixando a distribuição igual de todos os números primos ≥ 7 ... n juntamente oito diagonais (e nós notar aqui que, segundo um teorema devido a Dirichlet qualquer progressão aritmética com nenhum fator comum contém todo infinitos números primos); e dado que seis destas diagonais com uma infinidade de números primos formar os três canais individuais privilegiada de distribuição (descritos acima), que, quando combinadas em uma única linha de número, revelam uma divergência série: 11 {2 4 2 10 + 2 10} {repetir ... ∞} ; e dado que a infinidade de números primos é comprovada, é axiomático que há uma infinidade de pares de primos na forma p, p + 2. Dito de outro modo, primos gémeos, começando com [11, 13] são sequenciados infinitamente dentro de um divergente ( aka harmônica) séries, enquanto paradoxalmente convergindo para & Phi 2 quando indexados ao Fibonacci números como engrenar as marchas.



vendo estrelas

Outro aspecto interessante dos três canais de distribuição privilegiada individuais se torna aparente quando os oito radiais do Primeiro-Spiral Sieve (ou modulo 30 roda fatoração), são sobrepostas em cima de uma {10/3} polígono regular em estrela (veja a ilustração abaixo). Trinta (30) é a unidade de comprimento total dos dez segmentos de linha reta utilizados para construir o {10/3} polígono estrela, onde as linhas retas se conectar a cada 3º ponto de 10 pontos igualmente espaçados encontram-se na circunferência de um círculo. Note-se que três pontos do polígono, 144 ° (12), 216 ° (18) e 360 ° (30), com precisão e de forma simétrica dividir os canais de distribuição principais individuais. E como você girar este objeto, várias outras simetrias tornar-se evidente, por exemplo: entre 7 → 17; 13 → 23; e 7 → 23.

Modulo 30 Prime espiral Sieve e Estrela Polygon sobrepor
 

Ainda mais interessante, é o resultado quando você sobrepor uma estrela de 15 pontos sobre a Sieve Prime espiral com a sua "abertura" aumentou para modulo 90. Como mostrado abaixo, cada um dos 9 canais de distribuição privilegiada individuais é atingido morto por pontos de a estrela:

Modulo 90 Prime espiral Sieve e 15-Point Estrela sobrepor
 

Esta superposição revela algumas circularidades interessantes: Quando você somar os 9 ângulos que atingiram os canais de distribuição dos primos gêmeos ponto morto você começa 1800. 1800/360 = 5; 1800/9 = 200. Por sua vez, somar os 6 ângulos que atingiram equidistante entre os canais de distribuição privilegiada individuais e você começa 1080. 1080/360 = 3. 1080/6 = 180. Em toto, 1800 + 1080 = 2880; 2880/360 = 8.



Squares duplo Prime mágicas

Antes de deixar os primos gémeos, vamos dar mais uma olhada para eles de uma perspectiva de raiz digital. A ilustração abaixo mostra as sequências infinitamente repetidos raiz digital para cada um dos 8 raios de peneira espiral, assim as somas das raízes digitais (em amarelo) entre cada raio, incluindo os canais de distribuição dos primos gêmeos. É notável que as sequências da soma dos dígitos par de gêmeos, {3,9,6}, {9,6,3} e {6,3,9} quando posicionado ao lado da outra em ordem crescente, criar um "quadrado mágico" ( em que todos os montantes verticais, horizontais e diagonais principais igualar 18), como na figura abaixo:

Twin Prime Digital Raiz Quadrado Mágico
 

O {3,6,9} triangulação é um membro da chamada "trindade de triângulos", juntamente com {1,4,7} e {2,5,8}. Olhando para o gráfico acima, você vai notar que cada um dos três números primos gémeos Canais de Distribuição tem uma perna que seqüências como {1,4,7} e o outro como {2,5,8}, embora os dígitos iniciais podem variar , viz. {1,4,7} x {4,7,1}. Quando se combinam as três pernas essa sequência como {1,4,7}, bem como as três pernas essa sequência como {2,5,8}, estes também formam quadrados mágicas, como ilustrado abaixo. Outra quadrado mágico escondido à vista torna-se evidente quando você examinar as seqüências que você encontra em rotação: {1,4,7} ... {2,5,8} ... {3,6,9} em várias combinações de sequências . Tomando os dígitos 1 a 9 esses três triângulos representam, eles podem ser configurados em um quadrado mágico representando 'et alia', neste caso, o famoso 'Lo Shu quadrado mágico':

Trindade de triângulos e Trinity of Magic Squares
 

Em "Algoritmos Fatoração para os candidatos números primos gémeos," acima, que detalhou como primos gémeos vêm em três configurações digitais de raiz: {2,4}, {5,7} e {8,1} e demonstrou que essas díades, por sua vez, , pode formar a base do período de 24 ciclos de raiz digitais que geram matrizes de tensores. Assim, com esses ciclos e matrizes em mente, tomar as três duplas raiz digitais primos gêmeos em discussão, seqüência dos seus ciclos de raiz digital de 24 de comprimento, em seguida, nível deles, e você vai descobrir um meio direto para a construção da Trindade de quadrados mágicos através da Trindade de Triângulos, como ilustrado aqui:

Magic Squares Derivados de Ciclos díade gêmeo Prime Digital Raiz
 

Quando rodar tanto o {1,4,7} ou {2,5,8} quadrado mágico em torno de seu eixo horizontal, ou seja, colunas {A, B, C} se tornar {C, B, A}, em seguida, adicione {1 , 4,7} {2,5,8} quadrados mágicos juntos, você produz um quadrado com nove 9 de. Por exemplo, adicionar as primeiras linhas de cada nos dá: {2,8,5} + {7,1,4} = {9,9,9}.

Triângulos e quadrados magic-semelhante ou idêntico-àqueles mostrado acima pode ser derivado dos ciclos de sequência raiz digitais de todos os três canais de distribuição duplos privilegiada (nomeadamente para números ≡ {11,13}, {17,19} e {1,29 } modulo 30). Isto também é verdadeiro de díades formados por raios emparelhado da peneira espiral Primeiro que soma a 30, isto é, números de ≡ {1,29}, {7,23}, {11,19}, ou {13,17} módulo 30, bem como díades formado quando {N, N + 10} são ≡ de {1, 11}, {7, 17}, {13, 23} ou {19, 29} modulo 30 (notar o seu emparelhamento terminando dígitos ). Um exemplo relacionadas com primos gémeos: Os três primeiros pares de candidatos no canal de distribuição dos primos gêmeos ≡ para {11,13} modulo 30 (todos os três dos quais são primos de fato individuais) sequência de suas raízes digitais da seguinte forma:

{11,13} = raízes digitais 2 e 4
{41,43} = raízes digitais 5 e 7
{71,73} = raízes digitais 8 & 1.

Como você pode ver, esta é a mesma sequência de raiz digitais ilustrado acima.

Parece que as triangulações e quadrados mágicos estruturar a distribuição dos primos gémeos (e como se vê, todos os números primos) têm uma gênese em princípios universais que envolvem grupos de simetria rodados pelos algoritmos 8-dimensionais discutidas longamente sobre este site. Você pode ver este princípio universal no trabalho, por exemplo, no que diz respeito à sequência de raiz digital de Fibonacci quando acoplado a um par de duplas que seguem certas regras incrementais. Como nós ilustrado acima, a díade inicialização do 24 período de Fibonacci sequência raiz digital é {1,1, ...}. Podemos gerar triângulos e quadrados mágicos pela hierarquização da sequência de raiz digital de Fibonacci com dois pares de termos que são + 3 ou + 6 dos termos iniciais {1,1}. Os valores da 2ª e 3ª séries, ou linhas, devem ser diferentes, ou simetria está perdido. <

...

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primos gemeos é so para COELHOS de alto Q.I, COELHO TEM Q.I! AHHH

 é apenas um tema dos primos gemeos

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coelho olhe na lotomania o fator 30

Deep Symmetries

The Prime Spiral Sieve possesses remarkable structural and numeric symmetries. For starters, the intervals between the prime roots (and every subsequent row or rotation of the sieve) are perfectly balanced, with a period 8 difference sequence of: {6, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2}. The entire domain can thus be defined as 1 {+6 +4 +2 +4 +2 +4 +6 +2} {repeat ... ∞}. As we've already suggested, the number 30 figures large in our modulo 30 domain. The Prime Spiral Sieve is Archimedean in that the separation distance between turns equals 30, ad infinitum. The first two rotations increment as follows:

Root Prime Symmetry Involving 30's

Interestingly, the sum of the 2nd rotation = 360. Is it coincidental that the product of the first three primorials, 2, 6 and 30 = 360? Or is it coincidental that when you multiply the first five Fibonacci numbers in sequence, you produce 1, 2, 6 and 30? And, speaking of the Fibonacci number sequence, there is symmetry mirroring the above in the relationship between the terminating digits of Fibonacci numbers and their index numbers equating to members of the array populating the Prime Spiral Sieve:

Fibonacci Terminating Digit Symmetry

Remarkably, the sequence of Fibonacci terminating digits indexed to our domain (natural numbers not divisible by 2, 3 or 5), 13,937,179 (see graphic, above), is a prime number and a member of a twin prime pair (with 13,937,177). In case you're wondering, 13,937,179 is not a reversible prime (as the reversal is a semi-prime: 9,461 x 10,271 = 97,173,93). However, given all the repunits that follow, we take note that both of the reversal's factors are congruent to 11 (mod 30 & 90).

Perhaps most remarkable of all, 13,937,179 when added to its reversal 97,173,931 = 111,111,110 (in strict digital root terms, the sum is 11,111,111) and the entire repeating (and palindromic) Fibo sequence end-to-end (equivalent to two rotations around the sieve) gives you this palindromic equivalency: 1,393,717,997,173,931 ≡ 11,111,111 (mod 111,111,110)... (and interestingly, 11,111,111 * 111,111,110 = 1234567876543210 and 111,111,110/11,111,111 = 10). Also, 1,393,717,997,173,931 is divisible by the repunits 11 and 1,111 and 11,111,111.

Another point of interest: the terminating digits of the first 8 Fibonacci numbers indexed to our domain (13937179) contain two each 1's, 3's, 7's, and 9's. This is also true of the terminating digits of the first eight members of our domain (17137939).

Echoing the Fibonacci patterns just described, the terminating digits of the prime roots (17,137,939), when added to their reversal (93,973,171) = 111,111,110. And, when you connect the prime root terminating digit sequence to its reversal, the entire palindromic sequence end-to-end produces this: 1,713,793,993,973,171 ≡ 111,111,111 (mod 111,111,110) [And in this case, 111,111,111 * 111,111,110 = 12345678876543210.]. And if that isn't enough, 1,713,793,993,973,171 is also divisible by the repunits 11 and 1,111 and 11,111,111.

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fala grande COELHO NADA HAVER, o forum é para isto mesmo, éo que  voce citou te ajudou e muito para voce no começo de tua jornada

 isto( todos os filtros, todos os métodos, todas as caixinhas de fósforo do mercado, )

 ou queria que a jogue isto e acertara 100%.jogue AQUILO, VAI ACERTAT para com estas!!! se achando o bom porque os outros ficam

 alizando sua pele, aqui todos sao lobo do lobo, muita cAlma nesta hora

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