A redondeza das coisas

[RobSmith]

MATEMÁTICA PARA MIM E TAMBÉM PARA CURIOSOS COMO EU

 

A circunferência é uma figura ideal. Não é possível ser construída. Não há compasso que possa fazê-la.

 

Mas, o que o compasso traça não é uma circunferência?

 

Não; não é.
É uma aproximação; é o melhor que temos para trazer do plano ideal algo para o 
reconhecimento humano através da visão.
A circunferência é platônica, por assim dizer; é a forma perfeita e perfeição é algo inatingível. 
Perfeição é sinônimo de entidade infinita, aquilo que não se pode impor limites de forma ou contagem.
Por conseguinte, a Perfeição é invisível aos olhos; mas não o é ao entendimento por arremedo.

Tentemos, então, arremedar uma circunferência através da trigonometria e da matemática. Desenhemos uma circunferência:

(Figura 1)

Uma pergunta: qual o polígono regular, com a menor quantidade de lados, que a Figura 1 poderia abrigar? O triângulo, certo?

 (Figura 2)

Mas, comparando a redondeza de um com a de outro, a representação da circunferência é muito mais redonda do que o triângulo.
Mas, e se aumentarmos a quantidade de lados em uma unidade, tendo o triângulo como base?
Estaríamos transformando a Figura 2 em um quadrado

(Figura 3)

A Figura 3 é mais arredondada do que a Figura 2, mas ainda estão muito longe da Figura 1.

E se aumentarmos uma unidade à quantidade de lados, tendo como base a Figura 3?

(Figura 4)

O pentágono, a Figura 4, é bem mais arredondada do que as Figuras 2 e 3. Mas também está muito longe da quase perfeição da Figura 1.

 

[RobSmith]

Vamos experimentar o Hexágono:

 (Figura 7)

É, já está ficando mais arredondado.

Isto significa que, se aumentarmos o número de lados, acabaremos numa figura perfeitamente redonda, não é mesmo?

Não é não. A própria afirmação acima já trás um problema: aumentar o número de lados é uma contagem infinita, porque você pode ter 1.000.000 de lados, mas também pode ter 1.000.001 lados, ou seja, sempre pode acrescentar 1 à quantidade anterior.

[RobSmith]

Logo, a circunferência, representada na Figura 1 por aproximação, é um polígono regular com infinitos lados que não pode ser construído, porque não podemos quantizar os lados.

Mas o que significa ter ‘infinitos’ lados?
Infinito não é um número. É apenas uma tendência.
Tende-se a infinito, mas nunca se chega lá.
Caminha-se em direção ao Infinito, somente isto.

Mas, podemos tentar provar isto matematicamente?

Lord Kelvin disse uma vez que, se você defende uma proposição qualquer e a faz através de números, então você entende do que está falando.

Quem sou eu para contrariar Lord Kelvin, mas vamos tentar também confirmar o que disse o velho mestre; isto é, vamos ver se nossa proposição matemática não nos leva a algum absurdo.

A Figura 1 será nossa guia para começarmos a imaginar as coisas

[RobSmith]

Se inserirmos cada uma das figuras apresentadas naquela primeira, podemos vislumbrar coisas interessantes.

 (Figura8)

Vamos inserir a Figura 7 na Figura 1 apenas, porque é a mais arredondada em nossa pesquisa pictórica. Será nossa Figura 8.

 

Também, desenhemos um triângulo cujos vértices são o centro da circunferência imaginária e o encontro dos lados do hexágono inscrito.

Também, neste triângulo, dividamos em duas partes, de modo que no centro se formem dois ângulos iguais, os ângulos .

[RobSmith]

E quanto valem ?

Veja que  é o ângulo formado por um dos lados do hexágono e o centro da hipotética circunferência.

Se a circunferência tem  e temos um figura de 6 lados, logo

Vamos trazer a Figura 8 novamente, a fim de não perdermos na rolagem da página a composição:

Se 

então

no caso de um hexágono como exemplo.

Genericamente,

 

E quanto mediria a base do triângulo em vermelho, o mesmo valor de um dos lados do hexágono?
Ele mede c unidades de comprimento. Não sabemos qual, mas podemos descobrir.

Lembra da função trigonométrica Seno? Pois ela nos será útil para descobrir o comprimento c, que é o comprimento da base do triângulo.

Mas, olhando para a figura, o que é a metade do lado do hexágono? Isto é, qual a metade de c?
Olhando novamente para a figura, o que representa o raio da hipotética circunferência? Veja que é o comprimento de uma das hipotenusas.
Vamos chamá-lo de r.

Se

então

Agora, imagine o que acontece com a abertura do ângulo , à medida que você vá substituindo o hexágono por heptágono, por octógono, por eneágono, assim sucessivamente?
Veja que o comprimento do lado c vai diminuindo, diminuindo… Então, pode-se dizer que, à medida que o ângulo  tende a zero, o comprimento c tende com ele.

Por que  tende a zero à medida que a quantidade de lados do polígono aumenta?
Pela Equação 1 e pela Equação 2 você poderá ver que

Então, se fizermos  tender a infinito, o ângulo  tende a zero.
Tendo a tendência a zero no ângulo, seu seno tende a zero também.

 

Como dito, o comprimento do lado do polígono inscrito na circunferência também tende a zero com ele, de modo que, no Infinito, teríamos uma circunferência (perfeita).

Ou seja, uma circunferência é um polígono CUJA MEDIDA DE TODOS OS SEUS LADOS É ZERO!

Portanto, não existe circunferência, ou seja, um polígono perfeitamente circular e, assim sendo, não é possível desenhá-la.
Chamando , então

Isto é,

 

Para que serve isto? Não sei.

[RobSmith]

Fonte para uma boa leitura

https://continhas.wordpress.com/

[PARAFUSO]